In questa appendice richiamiamo alcune notazioni e risultati principali riguardanti la trasformata di Fourier, prima nel caso finito (Sezione Sezione 10.1) poi nel caso di tempi discreti (Sezione Sezione 10.2) e infine nel caso continuo (Sezione Sezione 10.3)
Caso finito
Fissano \(n \in \N\), si consideri un segnale definito (o misurato) su un intervallo discreto di \(n\) valori \[g : \cur{0, 1, \ldots, (n-1)} \to \mathbb{C}, \quad t \mapsto g( t ).\] Si definisce la sua trasformata di Fourier come la funzione \[ \hat g : \cur{0, 1, \ldots, (n-1)} \to \mathbb{C}, \quad \xi \mapsto \hat{g}(\xi) := \sum_{t=0}^{n-1} g(t) e^{ - 2 \pi i t \xi/n}.\]
Se si interpeta sia \(g = (g(t))_{t=0}^{n-1}\) che \((\hat g(\xi))_{\xi =0}^{n-1}\) come vettori in \(\mathbb{C}^n\), allora \(\hat{g}\) è il vettore ottenuto moltiplicando \(g\) per la matrice \(F \in \mathbb{C}^{n\times n}\), data da \[ F_{\xi t } = e^{ - 2 \pi i t \xi/n}.\] La proprietà fondamentale della matrice \(F\) è di essere unitaria, ossia l’inversa di \(F\) è la sua trasposta coniugata (in realtà, per via della definizione che abbiamo usato, questo è vero a meno di una costante moltiplicativa \(1/n\)). Questo perché vale la relazione di ortogonalità, per \(s\), \(t \in \cur{0,1, \ldots, n-1}\), \[ (\bar{F}^T F)_{s t} = \sum_{\xi = 0}^{n-1} e^{ 2 \pi i s \xi/n}e^{ - 2 \pi i t \xi/n} = \begin{cases} n & \text{se $s=t$}\\
0 &\text{altrimenti.}
\end{cases}\] Per dimostrarlo basta ricordare la somma geometrica \(\sum_{j=0}^{k-1} z^j = (z^{k}-1)/(z-1)\) e il fatto che \(e^{2\pi i }= 1\).
Come prima conseguenza otteniamo allora la formula di inversione \[ g = \frac{1}{n} \bar{F}^T F g,\] che esplicitamente diventa \[ g(t ) = \frac 1 n \sum_{\xi=0}^{n-1} \hat{g}(\xi) e^{2 \pi i \xi t/n}.\] In altre parole, la trasformata di Fourier permette di ricostruire esattamente \(g\) mediante una operazione inversa che è analoga a quella diretta.
Una seconda conseguenza è il fatto che la norma (Euclidea) del vettore \(g\) coincide (a meno di un fattore \(1/n\)) con quella del vettore \(\hat{g}\), perché \[ |\hat g|^2 = \overline{F g}^T F g = \bar g^T \bar{F}^T F g = n \bar{g}^T g = n |g|^2.\]
Caso discreto
Supponiamo ora di osservare un segnale definito su un tempo infinito discreto \(g: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}\) (è una situazione ideale ovviamente). L’analoga trasformazione stavolta definisce la trasformata di Fourier a tempi discreti \[ \hat{g} : [0,1] \to \mathbb{C}, \quad \xi \mapsto \hat{g}(\xi) := \sum_{t \in \mathbb{Z}} g(t) e^{2 \pi i t \xi},\] purché la serie converga, ad esempio se \[ \sum_{t \in \mathbb{Z}} |g(t)| < \infty.\]
Anche senza ricorrere all’intuizione sopra, si può dimostrare l’analogo discreto della formula di inversione, ossia \[ g(t) = \int_0^1 \hat{g}(\xi) e^{2 \pi i t \xi}d \xi,\] e l’identità dell’energia \[ \sum_{t \in \mathbb{Z}} |g(t)|^2 = \int_0^1 |\hat{g}(\xi)|^2 d \xi.\] Senza entrare nei dettagli, il punto chiave è la relazione di ortogonalità \[ \int_0^1 e^{2 \pi i s \xi} e^{-2 \pi i t \xi} d \xi = \begin{cases} 1 & \text{se $s=t$,}
\\
0 & \text{altrimenti,}\end{cases}\] che si dimostra ad esempio integrando per parti. Le due relazioni sopra seguono ripercorrendo la dimostrazione del caso finito sfruttando questa ortogonalità.
Nel caso di tempi discreti la trasformata di Fourier è particolarmente utile perché è un cambio di coordinate che si “comporta” bene con le operazioni di traslazione. Se infatti definiamo l’operatore di ritardo \(L\) (in inglese lag), che trasforma \(g\) nel segnale \[ t \mapsto (Lg)(t) = g(t-1),\] allora \[ \widehat{ Lg} (\xi) = \sum_{t \in \mathbb{Z}} g(t-1)e^{-2 \pi i t \xi} = e^{-2 \pi i \xi} \hat{g}(\xi).\] In termini fisici, la traslazione (o ritardo) fa acquisire una fase alla trasformata.
Il punto è che iterando l’operazione, la fase si accumula: posta \(L^s g(t) = g(t-s)\), ossia \(L\) applicata \(s\)-volte a \(g\), si ha \[\widehat{ L^s g}(\xi) = e^{-2 \pi i s \xi } \hat{g}(\xi).\] Una operazione piuttosto naturale quando si intepreta \(g\) come un segnale è la convoluzione con un “filtro” \(f\), ossia una ulteriore funzione \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}\) (con delle caratteristiche opportune). La definizione di convolution \(g*f\) è data dalla seguente formula: \[ (g * f) (t ) = \sum_{s \in \mathbb{Z}} g(t-s) f(s).\] Passando alla trasformata di Fourier, possiamo scrivere \[ \begin{split} \widehat{g * f}(\xi) & = \widehat{ \sum_{s \in \mathbb{Z}} g(\cdot-s) f(s)} (\xi) \\
& = \sum_{s \in \mathbb{Z}}\widehat{ g(\cdot-s)} (\xi) f(s)\\
& = \sum_{s \in \mathbb{Z}} \widehat{ L^s g} (\xi) f(s)\\
& = \sum_{s \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi i s} \hat g (\xi) f(s)\\
& = \hat g (\xi) \sum_{s \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi i s} \hat g (\xi) f(s) = \hat{g}(\xi) \hat{f}(\xi).\end{split}\] In altri termini, nelle coordinate date dalla trasformata di Fourier (la base delle frequenze) la convoluzione con un filtro \(f\) si riduce al prodotto con la sua trasformata di fourier \(\hat{f}\).
In particolare, dall’identità dell’energia segue che \[ \sum_{ t \in \mathbb{Z}} |g * f|^2(t) = \int_0^1 |\hat{g}|^2(\xi)|\hat{f}|^2(\xi ) d \xi.\]
Caso continuo
Accenniamo infine al caso continuo, che corrisponde ad un passaggio al limite in cui i tempi \(t \in \mathbb{Z}\) sono pensati come equidistanziati di passo \(\Delta t \to 0\). Ne segue che per descrivere \(g\) sono necessarie frequenze in intervalli via via più ampi e nel limite la trasformata di Fourier di \[g : \R \to \mathbb{C}\] è definita come \[ \hat{g}: \R \to \mathbb{C}, \quad \hat{g}(\xi) := \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-2\pi i t \xi} d t,\] purché l’integrale converga, ad esempio se \[ \int_{-\infty}^\infty |g(t)| d t < \infty.\] Anche in questo caso (ma è meno immediato) si può mostrare una formula di inversione \[ g(t) = \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(\xi) e^{2 \pi i t \xi}d \xi,\] (purché l’integrale abbia senso) e l’identità dell’energia \[ \int_{-\infty}^\infty |g(t)|^2 d t= \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{g}(\xi)|^2 d \xi.\] Anche nel caso continuo si può introdurre la convoluzione con un filtro \(f: \R \to \mathbb{C}\), \[ g * f(t) = \int_{-\infty}^\infty g(t-s)f(s) d s,\] e nella base delle frequenze l’operazione si riduce ad un prodotto: \[ \widehat{ g * f}(\xi) = \hat g (\xi) \hat f (\xi).\]
